حکمران هند که ثروتمند ترین مرد جهان بود ، نتوانست از عهده این در خواست برآید.در حقیقت این راجه ثروتمند شرقی با همه تصورات بی پایان خود نتوانست این مقدار گندم را تهیه کند!!!!!

تعداد دانه های گندم برابر است با مجموع توانهای متوالی ۲ از ۰ تا ۶۳ یعنی:

۱۸ُ۴۴۶ُ۷۴۴ُ۰۷۳ُ۷۰۹ُ۵۵۱ُ۶۱۵ عدد گندم

اگر در هر سانتیمتر مکعب ۲۰ دانه گندم قرار بگیرد رویهم این تعداد گندم به اندازه ۹۲۲ُ۳۳۷ُ۲۰۳ُ۶۸۵ متر مکعب گندم می شود(۲۰ میلیون گندم در هر متر مکعب)

برای اینکه بتوان این مقدار گندم را بدست آورد باید هشت بار تمام زمین را کاشت و هشت بار محصول آنرا جمع کرد. به عبارت دیگر این محصول را از سیاره ای می توان بدست آورد که سطح آن هشت برابر زمین باشد.

به این ترتیب مخترع شطرنج درس خوبی به حکمران هند داد و به او ثابت کرد که امکانات بی ژایانی ندارد و نمی تواند "هر" خواهش مخترع را برآورد.

بلز پاسکال (Blaise Pascal) ریاضیدان، فیلسوف و فیزیکدان فرانسوی ۱۹ ژوئن ۱۶۲۳ در کلرمون واقع در مرکز فرانسه به دنیا آمد. کسی که او را «پاک ترین موجود جهان» نامیده اند. پدرش ریاست اداره مالیات کلرمون را به عهده داشت. خواهرش ژیلبرت زندگی نامة او را نوشت و خواهر دیگرش ژاکلین او را به صومعه کشانید تا خودش را وقف کلیسا کند و در واقع موجب مرگ او و بی بهره شدن جهان دانش از وجود یک نابغه شد. بلز پاسکال در محیطی ثروتمند پرورش یافت پدر او بازرگانی متمول و جز اشراف بود زمانی که او سه ساله بود مادرش فوت کرد پدرش به تحصیل او توجه داشت و از آن موقع برای او معلم سر خانه گرفت پدر پاسکال تصمیم گرفت تا کتابهای مربوط به هندسه را تا ۱۵ سالگی پاسکال دور از دسترس او قرار دهد تا پسرش بتواند توجه خود را بر موضوعهای دیگر متمرکز کند با این وجود او از ۱۲ سالگی در اوقات فراغا به طور مخفیانه به مطالعه هندسه می پرداخت.

پدرش به خاطر تحصیل او، از کار خود استعفا کرد و خانواده را به پاریس آورد (۱۶۳۹) در بیست و پنج سالگی فعالیت های علمی خود را رها کرد و به دیر «ژان سنیست ها» رفت چرا که «ژان سن» معتقد بود «دانش یک شهود روانی است شبیه اشتهای جسمی» و این همان پاسکال است که زمانی به شوهر خواهرش نوشته بود :«... گمان نمی کنم ناچار باشیم اندیشه ها و حکم هایی را که از گذشته به ما رسیده است، بپذیریم، مگر آنکه استدلالی منطقی و بی تردید داشته باشند و به نظر من نهایت ضعف و نادانی است که به حقیقت های روشن ومسلم گردن ننهیم و به اندیشه های کهنه خود باور داشته باشیم.»

پاسکال در ۱۲ سالگی بسیاری از قضیه های هندسه اقلیدسی را پیش خود اثبات کرد. در ۱۶ سالگی قضیه ای از هندسه تصویری را کشف کرد (قضیه پاسکال)، در همان سال کتاب «مقاطع مخروطی» را نوشت. در سال ۱۶۳۹ پدر پاسکال مامور جمع آوری مالیات در منطقه نرماندی علیا شد. پاسکال برای کمک به ماموریت پدر یک دستگاه ماشین حساب مکانیکی ساخت که در نوع خود اولین نمونه بود او در این زمان ۱۸ سال داشت. به جز آن کشف هایی در «تعادل آب گون ها» ، «فشار هوا» و غیر آن دارد. او کارهای مهمی در هیدروستاتیک (که به همین سبب واحد فشار، پاسکال نامیده میشود) انجام داد و بحثهایش با فرما در مورد مساله دومره نظریه احتمال را بنا نهاد.

اولین ماشین حساب ساخته شده توسط پاسکال در سن ۱۸ سالگی که آنرا پاسکالین نام نهاد. پاسکال این وسیله را برای کمک به کار پدر ساخت.

پاسکال قاطعانه بر این باور بود که تجربه نسبت به استدلال تنها ارزش بیشتری دارد. آزمایشهای او نشان داد که بالا رفتن مایع در یک فشار سنج نه به دلیل کشش خلا در بالای لوله بلکه به دلیل فشار هواست. در سال ۱۵۴۸ او اصل پاسکال را ثابت کرد که بنا برآن هر سیالی که در ظرفی فرار گیرد فشار را در تمام جهتها به طور یکسان منتقل می کند و این فشار همواره بر سطوح تماس عمود است.

مثلث پاسکال یا نمودار ضریب دو جمله ای، از آن او نبوداما وی آن را در محاسبه های احتمالش به کار برد. پاسکال در کار مربوط به یافتن مساحتهای اشکال منحنی الخط نیز شرکت داشت،کاری که منجر به حساب دیفرانسیل و انتگرال شد.

در کلیسا وقتی در ۱۶۶۸ به درد دندان مبتلا شد، برای نجات از درد به ریاضیات پناه برد و در ۸ روز کتابی درباره انتگرال ها و دیگر کشف های خودش نوشت (در سال ۱۶۵۹ رساله ای درباره محاسبات دیفرانسیلی نوشته بود).

درخششی که در اثر او موسوم به نامه های ولایتی (۱۶۵۶) وجود دارد نشاندهنده دوران جدیدی از نثر فرانسوی است. مشهورترین اثر فلسفی پاسکال کتاب اندیشه هاست که مجموعه ای از اندیشه های شخصی او در مورد رنج و ایمان انسان است این ککتاب در سال ۱۶۵۸ منتشر شد او می توانست با سناد به سر درد و شکم دردهایی که همیشه او را رنج می داد از درد و رنج انسان چیزهایی بنویسد اندیشه ها هرگز خاتمه نیافت و روش درست تکمیل این یادداشتها عامل محرک بحثهای فلسفی تاکنون بوده است.

پاسکال شاید به دلیل زخم بدخیم معده در ۳۹ سالگی در سال ۱۶۶۲ فوت کرد. اما با وجود زندگی کوتاه آثار بسیاری در زمینه های گوناگون فیزیک ریاضی هندسه و ادبیات مسیحی از خود به جای گذاشته است..

مجسمه پاسکال در موزه لوور پاریس (۱۷۸۵)

برخی از خواص مثلث پاسکال

آیا می توانید ردیف بعدی را پیش بینی کنید ؟

گیوم فرانسوا انتوان هوپیتال ، در سال 1661 در پاریس و در خانواده ای ثروتمند و اشرافی ، متولد شد . او عنوان «مارکیز» و «کنت» را هم با خود داشت .ریاضیات در زندگی کودکی هوپیتال ، هیچ نقشی بر عهده نداشت . او در زبان لاتین ، که در زمان او از مهمترین موارد درسی بوده است پیشرفت کمی داشت . استعداد او تقریبا تصادفی و وقتی که یک کتاب درسی هندسی در اختیار او قرار گرفت ،کشف شد.ابتدا به طرف شکل های کتاب جلب شد و به این دلیل، نظری هم به کتاب انداخت تا بتواند از کم و کیف شکل ها سر در آورد. ولی همین آشنایی اولیه او با هندسه ، خیلی زود علاقه ای واقعی در او به وجود آورد . در سال 1693 هوپیتال به عنوان عضو فرهنگستان علوم پاریس انتخاب شد .


این ریاضی دان جوان ، معلوم نیست به چه علتی ، نتوانست معلم خوبی پیدا کند و ناچار شد موضوع مورد علاقه اش را پیش خود ،کاملا عمیق یاد بگیرد.در این روایتی وجود ندارد.وقتی که 15 سالش بود در اجتماعی ظاهر شد که صحبت از پاسکال و استعداد فوق العاده ی او بود. بین همه کسانی که داستان حل یکی از مسئله ها را ، باشگفتی و تحسین ،دنبال می کردند ، تنها هوپیتال ساکت بود . فقط گفت هیچ دلیلی برای شگفتی نمی بیند به نظرش میرسید که او هم می تواند چنین مسئله ای را حل کند و در واقع هم ، بعد از 2 روز راه حل اختصاصی خود را ارائه داد . در سال 1695 اساسی ترین اثر زندگی او ، یعنی «آنالیز» منتشر شد . نام کامل کتاب چنین بود : «آنالیز بینهایت کوچکها برای درک منحنی ها » تعریف متغیر و دیفرانسیل ، درست همان بود که لایب نیتس آورده است.
ضمن کار های هوپیتال باید از مقاله سال 1699 او هم یاد کرد که در آن ، راه حل یکی از مسئله های نیوتن را ارائه داده است . خود نیوتون ، تنها نتیجه گیری مسئله را بدون راه حل داده بود. آخرین کار معروف هوپیتال «رساله ی تحلیلی مقطع های مخروطی » به بررسی منحنی های درجه دوم اختصاص داد .با وجودی که بررسی خود را تحلیلی نامیده است.

در سال 1704 ، هوپیتال 43 ساله ، در اثر سکته مغزی در گذشت . در پایان سده هفدهم ، هوپیتال چهره ی شناخته شده ای در میان ریاضی دانان اروپایی بود .بین دانشمندان درجه دوم ، می توان او را دست کم به خاطر حل موفقیت آمیز مسئله های مشهور نیوتن ، لایب نیتس یاکوب و یوهان برنولی ، برجسته دانست. با همه اینها ، افتخار اصلی هوپیتال را باید به خاطر کتاب «آنالیز» او دانست.

منطق فازي 38 سال پيش توسط دكتر لطفي در امريكا مطرح و در اوايل دهه 1990 به عنوان سمبل فني وفرهنگي خاستگاه تاريخي شرق مطرح گرديد و هم اكنون بيشتر كارخانه ها و شركت ها در دنيا با پياده سازي سيستم هاي فازي بر روي دستگا ه هاي خود توانستند بازار هاي زيادي را از ان خود كنند .اين نظريه چنان گسترش يافت كه سالانه هزاران مقاله در اين مورد نوشته مي شود به طوري كه در حال تغيير تفكر از سيستم باينري به سيستم فازي هستيم .در تفكر باينري كه براساس منطق 0 و 1 است همه چيز به صورت سياه وسفيد است و همه ي جواب ها به صورت مطلق پاسخ داده مي شود .اين تفكر كه از زمان ارسطو پا بر جاست هم اكنون با تزلزل شديدي همراه است كه نشان دهنده ي فروپاشي تفكر باينري است .يك كارت برداريد و يك طرف ان بنويسيد جمله ي طرف ديگر كارت درست است و روي طرف ديگر بنويسيد جمله طرف ديگر نادرست است .

اگر جمله ي روي كارت درست باشد جمله ي طرف ديگر كارت هم درست است پس بايد طبق جمله ي پشت كارت بايد جمله ي روي كارت نادرست باشد  ولي مشاهده مي شود كه اين جمله درست است .در مثال معروف برتراند راسل امده است مرد سبيلو كه مغازه ي سلماني دارد بر روي مغازه ي خود شعاري به اين مضمون نصب كرده است : "من صورت همه را مي تراشم به جز مرداني را كه خود صورت خود را مي تراشند " بنابراين اگر اين جمله درست باشد چه كسي صورت خود ان سلما ن را مي تراشد و اگر او صورت خودش را مي تراشد براساس انچه پشت در مغازه نوشته نمي تواند اين كار را بكند .در نظر بگيريد كه روي سپر ماشيني برچسب "به من اعتماد نكنيد "زده شده باشد حال بايد چه كار كرد ،ايا مي توانيم به راننده اعتماد كنيم در اين حالت هم بايد اعتماد كنيم هم نكنيم كه اين حالت مخالف تفكر ارسطويي وباينري است .در تفكر فازي مجاز به بيان كلماتي از قبيل كاملا درست ،كم وبيش درست ،تقريبا غير ممكن،نه چندان وبه8 ندرت مي باشيم ولي در تفكر باينري جواب يا درست است يا غلط .

انجا كه قوانين رياضي به واقعيات مربوط مي شوند حتمي نيستند و انجا كه حتمي اند نمي توانند به واقعيات اشاره داشته باشند

                                                                             البرت انيشتن  

از بزرگان راجع به رياضي بشونيم..

متناقض نما در هندسه

همه خطوط راستی را بیابید که در رویه  قرار دارد.

منبع: مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی-مساله ۲۰

حل مساله:

معادله پارامتری خطی که از نقطه  و در راستای  می گذرد توسط معدلات زیر داده می شود:

شرط لازم و کافی برای آنکه چنین خطی در رویه  واقع شود آن است که برای هر t داشته باشیم:

لذا . اما d₁ و d₂ نمی توانند همزمان صفر شوند، زیرا در این صورت باید داشته باشیم: که تناقض است. پس

لذا تنها خطوط راستی که در رویه  واقعند به شکل  یا به شکل  هستند که در آن a عدد ثابت و دلخواهی است. شکل رویه  را ذیلاً مشاهده می فرمایید.

انچه شما را به كشف كردن وا داشته است ،كوره راهي در شما مي گشايد كه ،باز هم ،هر وقت به چنين ضرورتي برخورد كنيد ميتوانيد از ان استفاده كنيد

                                                                                                  گئورگ ليختن برگ

هر گونه معرفت انساني از تفكر و تامل اغاز مي شود ،از انها به مفهم مي رسد وسرانجام ،به انديشه ختم

مي شود         

                                                                                                 امانوئل كانت

من مي كوشم چنان بنويسم كه ،هر كسي كه ان را مي خواند ،بتواند به معناي دروني ان پي ببرد و

سرچشمه هاي ان را پيدا كند به نحوي كه گويا ، خودش ان را يافته است

                                                                                              ويليام لايبنيتز

استدلا ل غير رياضي نقش اساسي در استدلال هاي رياضي دارد

                                                                                               اياي شور

در هر رشته اي از دانش به سختي مي تان روشي را شرح داد كه بتوان ردپاي ان را تا نخستين كشف دنبال كرد ... دست كم ،درباره ي درباره ي روند حلاقيت رياضي مي توان به نكته اي ساده اشاره كرد كه مورخان دانش بارها و بارها ، بران تاكييد كرده اند :مشاهده ،جاي مهمي را در اين روند دارد و نقش عمده اي در مورد ان ، به عهده داشتته است

                                                                                                شارل هرميت

هر راه حلي كه براي مساله اي پيدا مي كنم به عنوان سر مشق به من كمك مي كند تا مساله هاي ديگر را هم به نتيجه برساند

                                                                                                 دكارت

اگر مجموعه ها را به دو دسته ي متعارف و نامتعارف تقسيم كنيم (مجموعه هايي را كه خودشان عضو خودشان نباشند متعارف گوييم مثل مجموعه ي اعداد طبيعي و مجموعه هايي را كه خودشان عضو خودشان باشند نامتعارف گوييم مثل مجموعه ي مفاهيم انتزاعي كه خود اين مجموعه يك مفهوم انتزاعي ميباشد پس عضو خودش هم هست )حال اگر مجموعه اي مثل مجموعه ي Aرا در نظر بگيريم در اينصورت اين مجموعه يا متعارف است يا نا متعارف .اگر مجموعه ي Aرا متعارف فرض كنيم دراين صورت بايد يكي از عضو هاي خودش باشد (همه ي مجموعه هاي متعارف را در مجموعه يAجمع كرديم )ولي اگر مجموعه ي Aيكي از عضوهاي خودش باشد طبق تعريفي كه كرديم بايد نا متعارف باشد . اگر هم مجموعه ي Aرا يك مجموعه ي نامتعارف فرض كنيم بايد بتواند يكي از عضو هاي خودش باشد در حالي بين عضو هاي مجموعه ي Aتنها مجموع ه هاي متعارف وجود دارد و يك مجموعه ي نا متعارف نمي تواند عضو ان باشد

در مورد مجموعه ي Aبه يك تناقض منطقي برميخوريم اين مجموعه نه ميتواند متعارف باشد نه نا متعارف و اين همان پارادكس راسل ميبا شد كه  ميگويد مجموعه ي تمام مجموعه وجود ندارد